Мастер класс жатая бумага: Ошибочный ввод | Страна Мастеров

© 2021 vibrant веры

Pin It на Pinterest

Модель кинетики фрагментации смятых тонких листов

Сбор и обработка экспериментальных данных смятия, используемых для проверки аналитических результатов, представленных в этой работе полностью подробно описано в разделе «Методы».Образцы складок, полученные из одноосно сжатых листов майлара, как показано на рис. 1b, аккуратно сегментированы на отдельные грани, как на рис. 1с. Отобранные образцы различаются по степени уплотнения \ (\ tilde {{{\ Delta}}} \), соотношению конечной высоты к начальной и количеству последовательных складок одного и того же листа, n . Всего проанализировано 24 сегментированных шаблона складок, охватывающих 7 различных степеней уплотнения, включая n = 1, 2, 3 и 24 итерации смятия. {\ infty} c (y, t) r (y) f (x | y) {\ mathrm {d}} y, $$

(1)

, где эффективное время t измеряет прогресс или зрелость процесса фрагментации, r ( x ) — это общая скорость, с которой фасет площадью x фрагментируется, а f ( x ). ∣ y ) — это условная вероятность того, что x получится в результате разделения y , при y ≥ x .Из этой формулировки вытекают предположения, что фрагментация происходит под действием однородно приложенной внешней силы и независимо от формы грани.

Частота разрушения

Чтобы оценить соответствие между смятием и процессом фрагментации, как описано в уравнении. (1) должны быть указаны два отношения: общая скорость разрушения r ( x ) и условная вероятность разрыва f ( x ∣ y ), которые характеризуют фрагментацию в масштабе отдельной грани. .{y} xf (x | y) {\ mathrm {d}} x = y. $$

(2)

Мы используем набор фасетов на каждом листе в качестве репрезентативных выборок, по которым можно определить скорость разрушения. На рис. 2a – c показан типичный пример трех повторений смятия и прослеживается прогрессирующая фрагментация выбранных граней. По таким последовательностям мы оцениваем r ( x ), определяя долю граней, которые фрагментируются между двумя последовательными складками, как функцию их площади x .Нормы рассчитываются отдельно для каждого листа, чтобы гарантировать одинаковое изменение t для всех рассматриваемых фасетов одновременно. Без ограничения общности, значения x во всех результатах масштабированы так, чтобы 10 см × 10 см, размер одного листа, соответствовал единице площади. Скорость распада в форме r ( x ) = x ^λ , по-видимому, согласуется с экспериментальными данными о разрушении, как показано на фиг. 2d. Результаты для образцов при других степенях уплотнения \ (\ tilde {{{\ Delta}}} \) представлены на дополнительном рис.6. Мы отмечаем одно ограничение этого анализа: листы, смятые при низкой степени уплотнения, могут иметь слишком мало граней для надежного размера выборки, из которого можно сделать вывод о сильной статистической тенденции; в противоположной крайности листы при высоком уплотнении, вероятно, претерпевают каскад из нескольких событий фрагментации за одну итерацию смятия и, таким образом, скрывают статистику отдельных событий разрушения. Взаимосвязь степенного закона мотивирована как ее постоянством преимущественно при низком уплотнении, так и простотой, которую она обеспечивает позже в нашей модели.

a Сегментация листа образцов, смятого один раз при уплотнении \ (\ tilde {{{\ Delta}}}} = 0,27 \), с четырьмя выбранными фасетами, обведенными и подчеркнутыми белым. В b показаны новые грани, которые разделяют эти области после второго смятия ( n = 2). В c подразделение граней, выделенных в b , показано после n = 3. d Для n = 1 (слева) пропорция граней r ( x ) Δ t присутствует в a в зависимости от их площади x , которые разделились по крайней мере на две отдельные грани в b за прошедшее Δ t между n = 1 и n = 2 .Для n = 2 (справа) доля граней из b , которые фрагментировались на c . Планки ошибок обозначают стандартное отклонение вероятности фрагментации, если фрагментация каждого аспекта рассматривается как испытание Бернулли, причем доля фрагментированных аспектов принимается как вероятность успеха в пределах каждого бина гистограммы. Пунктирная линия соответствует \ (\ sqrt {x} \). e Функция плотности вероятности ρ ( x / y ) областей фасета x , нормализованных по площади y их родительского фасета из предыдущей итерации смятия.Панель n = 1 (слева) представляет собой распределение долей площадей для фасетов в b относительно их родительских фасетов в a и n = 2 соответствующее распределение для фасетов в c относительно б . Пунктирная линия соответствует подгонке уравнения. (3) с заданным подобранным показателем β .

Чтобы вывести f ( x ∣ y ), полезно сначала изучить распределение ρ ( x / y ) доли площади x / y , что дочерний фасет занимает относительно своего родителя.То есть, если x — это площадь фасета на итерации смятия n , а y — площадь его охватывающего фасета на итерации n −1, то ρ ( x / y ) d ( x / y ) — вероятность того, что фасет сломается, чтобы произвести фрагмент, который находится между x / y и x / y + d ( x / y ) его начальной площади для малого дифференциального элемента d ( x / y ).{\ beta}, $$

(3)

поддерживается на x / y ∈ [0, 1]. Эта формулировка вводит предположение, что фрагментация является масштабно-инвариантным процессом; хотя это согласуется с настоящими данными, мы отмечаем, что существует физический нижний предел площади фасетки, и можно ожидать отклонения от масштабно-инвариантного поведения, когда площади фасеток становятся сопоставимыми с толщиной листа. Тем не менее, мы наблюдаем четкое указание на соотношение степенного закона в наших данных, как показано на рис.2e. Расширенные результаты представлены на дополнительном рисунке 7; как отмечалось ранее, образцы при высоком уплотнении подвергаются последовательности событий фрагментации между смятиями, и, таким образом, их распределения начинают отклоняться от степенной зависимости в сторону более зрелых распределений граней многократно сминаемых листов, которые мы представим позже, в нашем обсуждении статистики длины гребня. . Принимая f ( x ∣ y ) пропорционально ρ ( x / y ) и получая соответствующую нормализацию, которая удовлетворяет уравнению.{\ beta}. $$

(4b)

Будет полезно выразить свободный параметр β как

$$ \ beta = \ frac {a} {2} -1. $$

(5)

С этим определением мы продемонстрируем в следующем подразделе, что новый свободный параметр a соответствует параметру формы для распределения длины складки.

Решение для масштабирования

С указанием r ( x ) и f ( x ∣ y ), мы ищем аналитическое решение уравнения скорости фрагментации, уравнение.(1). В частности, мы ищем масштабное решение, не зависящее от начальных условий, свойство, которое позволяет нам решать аналитически и доказывает совместимость с выбранной формой однородных ядер распада ²⁷ . Таким образом, мы тестируем масштабирующий анзац c ( x , t ) = ϕ ( ξ ) / s ( t ) ² , как предложено в Cheng and Redner ²⁷ , где ξ = x / с ( t ), а средняя площадь, с ( t ), полностью зависит от t .{\ infty} xc (x, t) {\ mathrm {d}} x = 1 \) — общая площадь, сохраненная конструкцией. Отметим, что ϕ ( ξ ) является допустимой функцией плотности вероятности и представляет собой распределение масштабированной площади фасета ξ . Уравнение ставки может быть решено в соответствии с процедурой, описанной в Cheng and Redner ²⁷ , как подробно описано в дополнительном примечании 1; таким подходом мы приходим к решению c ( x , t ) = ϕ ( ξ ) / s ( t ) ² , действительно при большом t , с

$$ \ phi (\ xi) = \ frac {\ lambda} {{{\ Gamma}} \ left (\ right.{-1 / \ lambda}, $$

(6b)

где \ (G (a, \ lambda) = {{\ Gamma}} \ left (\ right. \ Frac {a + 2} {2 \ lambda} \ left) \ right ./ {{\ Gamma}} \ left (\ right. \ frac {a} {2 \ lambda} \ left) \ right. \), а Γ ( z ) — гамма-функция. Мы мотивируем фиксированный выбор параметра скорости разрушения λ = 1/2 как его согласованностью со статистикой разрушения при низком уплотнении, которая более точно отражает отдельные события разрушения, как обсуждалось ранее, так и упрощением, которое он обеспечивает для получения аналитического послушная модель.{2}}. $$

(7b)

Статистика длины гребня

Чтобы облегчить сравнение с ϕ ( ξ ) в уравнении. (7a), площадь отдельных фасетов масштабируется по средней площади для этого листа и строится в виде гистограммы с использованием логарифмических интервалов. На рисунке 3 показаны распределения средней кривизны, сегментации руки и масштабированной площади для типичного примера из нашего набора данных при четырех разных итерациях смятия n .По нашим предварительным наблюдениям на рис. 2e, мы замечаем изменение от образца к образцу параметра β (соответственно a ), что предполагает, что a является функцией t ; однако мы ожидаем слабой зависимости от t , такой что \ ({\ mathrm {lim} \,} _ {t \ to \ infty} {\ mathrm {d}} a / {\ mathrm {d}} t = 0 \), чтобы поддержать предположения, сделанные при решении уравнения. (1). Действительно, индивидуальная подгонка a к каждому распределению площадей граней выявляет зависимость вида

$$ a (t) = \ sqrt {t / \ tau} $$

(8)

с универсальным параметром τ , как показано на рис.4а. Таким образом, рис. 3c дополнительно показывает кривую наилучшего соответствия уравнению. (7a) с τ ≈ 24,041 в качестве универсального подгоночного параметра для всех образцов и индивидуальными a и t для каждого образца, вычисленными путем решения уравнений (7b) и (8) самосогласованно. Полный набор сегментированных шаблонов складок и распределений подобранных площадей для всех выборок данных представлен на дополнительных рисунках. 1 и 2.

a Карта средней кривизны для итераций n = 1, 2, 3 и 24 образца листа, скомканного с коэффициентом уплотнения \ (\ tilde {{{\ Delta}}} = 0.27 \) и b соответствующая сегментация граней. c Экспериментальные распределения масштабированной площади фасетки ξ = x / с для каждого образца (точки с разбросом) и кривая наилучшего соответствия уравнению. (7а) (сплошная линия). Параметр для каждого образца получается путем самосогласованного расчета по формулам. (7b) и (8), и только универсальный параметр τ ≈ 24.041 в совокупности подходит для всех образцов.

a Индивидуальная подгонка параметра формы a из уравнения. (7а) для каждого фасеточного распределения (разбросанные точки) наряду с наилучшим соответствием уравнению. (8) (штриховая линия), что соответствует τ ≈ 24.041. b Измеренная общая длина складки ℓ _изм. каждого сегментированного листа нанесены на график относительно количества \ ((1- \ tilde {{{\ Delta}}}) t / (a ​​+ 1) \) (разбросанные точки). По формуле (14), мы ожидаем, что наклон этого графика будет соответствовать n _e /2, или половине среднего числа граней на грань.{(t)} \ Equiv \ ell (t, \ tilde {{{\ Delta}}}) \), как задано производным соотношением Eq. (14) с экспериментальной моделью \ ({\ ell} _ {\ text {empir.}} \ Equiv \ ell (n, \ tilde {{{\ Delta}}}) \) уравнения. (11). Параметры уравнения. (11) установлены равными c ₁ = 52 (нормализовано на размер листа 100 мм) и c ₂ = 0,1, что сопоставимо со значениями наилучшего соответствия, указанными в Gottesman et al. ¹⁶ : c ₁ = 5200 мм, c ₂ = 0,063.Контрольная линия 1: 1 (пунктирная) служит ориентиром и показывает хорошее соответствие между двумя моделями. Цвета маркеров на всех панелях соответствуют разным значениям \ (\ tilde {{{\ Delta}}} \), как указано на шкале цветов.

Тесное соответствие между формулой. (7a) и экспериментальные данные подтверждают гипотезу о том, что последовательное разделение поверхности листа на грани во время смятия происходит в соответствии с процессом фрагментации, описываемым уравнением. (1). Мы можем изучить дальнейшие последствия этого статистического описания для таких атрибутов, как распределение длины складки, которое было исследовано в предыдущих исследованиях ^{7,8,9,10,14,15,30} .{-y / \ theta}, $$

(10)

с θ масштабом и параметром формы, упомянутым в нашем обсуждении скоростей разрушения, и со средней длиной кромки a θ . Распределение площади граней и длины кромки, обеспечиваемое уравнениями. (9) и (10) позволяют нам сформулировать выражение для типичной общей длины складки как функции от до , в тандеме с изменением средней площади с ( t ).Во-первых, мы кратко повторим ключевой эмпирический результат Gottesman et al. ¹⁶ , с которым мы будем сравнивать нашу модель. Было обнаружено, что общая длина складки варьируется в зависимости от логарифма количества повторений смятия и разворачивания n :

$$ {\ ell} _ {\ text {empir.}} \ Equiv \ ell (n , \ tilde {{{\ Delta}}}) = {c} _ {1} (1- \ tilde {{{\ Delta}}}) {\ mathrm {log}} \, \ left (1+ \ frac {{c} _ {2} n} {\ tilde {{{\ Delta}}}} \ right), $$

(11)

с \ (\ tilde {{{\ Delta}}} \) степенью уплотнения и c ₁ и c ₂ подгоночными параметрами.Поразительным свойством этой модели является то, что она подразумевает, что скорость, с которой накапливаются новые повреждения, измеряется добавленной длиной складки на итерацию смятия δ _эмпир. ≡ ∂ ℓ / ∂ n , не зависит от деталей подготовки листа:

$$ \ delta {\ ell} _ {\ text {empir.}} = \ Frac {{c} _ { 1} {c} _ {2} \ left (\ right.1- \ tilde {{{\ Delta}}} \ left) \ right.} {\ Tilde {{{\ Delta}}}} \ exp \ left (- \ frac {\ ell} {{c} _ {1} (1- \ tilde {{{\ Delta}}})} \ right).$$

(12)

Мы наблюдаем из уравнения. (12) что добавленная длина складки δ ℓ _эмпир. однозначно определяется мгновенным состоянием листа \ ((\ ell, \ tilde {{{\ Delta}}}) \); кроме того, модель не зависит от деталей сети складок, таких как пространственная однородность повреждений по всему листу. Подгоночные параметры c ₁ и c ₂ универсальны для всех значений n и \ (\ tilde {{{\ Delta}}} \).Сегментация фасетов каждого рисунка складок дает вторую измеримую величину, d , равную сумме всех внутренних периметров фасетов; то есть общая длина всех ребер, разделенных между двумя гранями. Мы ожидаем, что d и будут пропорциональными, с различиями, возникающими из-за неполного рубцевания по периметру фасетки, поскольку области листа восстанавливаются упруго, особенно при умеренном сжатии. Мы обнаруживаем, что \ ((1- \ tilde {{{\ Delta}}}) d \) обеспечивает желаемую пропорциональность, и определяем \ ({\ ell} _ {\ text {measure.}} \ Equiv (1- \ tilde {{{\ Delta}}}) {d} _ {\ text {Meas.}} \), чтобы быть измеренной общей длиной складки, полученной из наших сегментированных данных. Затем, работая с моментами полученных нами распределений площади фасетов и длин ребер, мы можем аналитически оценить d как среднюю длину ребра, a θ , умноженную на среднее количество ребер. Последнее может быть выражено как среднее количество граней или общая площадь листа, деленная на типичную площадь грани s , умноженную на количество кромок на грань n _e , уменьшенную вдвое для учета общих кромок, что дает

$$ {d} _ {\ text {model}} = \ frac {a \ theta (t)} {s (t)} \ times \ frac {{n} _ {e}} {2} = \ frac {{n} _ {e} t} {2 (a + 1)}.{(t)} \ Equiv \ ell (t, \ tilde {{{\ Delta}}}) = (1- \ tilde {{{\ Delta}}}}) \ frac {{n} _ {e} t} {2 (а + 1)}. $$

(14)

Здесь верхним индексом ( t ) обозначена явная зависимость ℓ _модель от t ; в следующем подразделе мы разработаем связь между t и n , которая позволяет выразить ℓ _модель через n и \ (\ tilde {{{\ Delta}}} \), зеркальное отражение Ур.{(t)} \) уравнения. (14), и ℓ _эмпир. уравнения. (11).

Численное свидетельство нечувствительности к начальной подготовке

Теперь, когда была представлена ​​связь между статистической моделью площади фасетки и общей длиной складки, мы кратко отметим понимание, которое может быть получено путем дополнительного решения уравнения. (1) численно. Схема численного интегрирования реализована с использованием правила составных трапеций второго порядка для дискретизации в x и неявной многоступенчатой ​​дискретизации второго порядка в t .Пример численного результата на рис. 5 показывает быструю сходимость к аналитическому решению стационарного состояния, задаваемому уравнениями. (7a) и (7b) и, следовательно, относительная нечувствительность к начальному состоянию. Чтобы продемонстрировать важность этого поведения, мы повторяем наблюдаемую историческую независимость от общей длины складки. Как обсуждалось в Gottesman et al. ¹⁶ , листы с разной историей нагружения — один был смят вручную, а другой намеренно сложен по прямым линиям — но при этом почти равная общая длина сгиба демонстрировала одинаковое последующее накопление повреждений при соблюдении протокола на рис.1а. Такие листы имели четко различимое начальное распределение площадей фасеток: фасеточные зоны преднамеренно сложенного листа имели резкие пики около двух разных значений, тогда как у скомканного вручную листа были широко распределены. Таким образом, признаки первоначальной подготовки, по-видимому, быстро затмеваются сильным аттрактором смятого состояния, что отражается в быстрой конвергенции к устойчивому состоянию, наблюдаемой численно.

a Выбранные снимки численно рассчитанного ϕ _num ( ξ ) с начальным условием c ( x , 0) = δ ( x — 1) и с a = 1, что свидетельствует о быстрой сходимости к стационарному распределению.Пунктирная линия соответствует аналитической форме уравнения. (7a) действительно в целом т . b Соответствующая эволюция средней площади с ( t ), с аналитическим решением при большом t , заданном уравнением. (7b) показано пунктирной линией. c Средняя площадь экспериментальных образцов как функция от t , вычисленная по формуле. (7b) (разрозненные точки). Пунктирная линия соответствует формуле. (7b) с и ( t ), как указано в уравнении.(8). Цвета маркера соответствуют различным значениям \ (\ tilde {{{\ Delta}}} \), как показано на шкале цветов.

Таким образом, мы установили, что оценка общей длины складки, построенная на основе моментов полученных распределений площади фасетки и длины гребня, показывает согласованность с логарифмическим масштабированием уравнения. (11). В следующем разделе мы предлагаем простой механизм того, как геометрическая несовместимость сложенного листа и его ограниченность приводят к дальнейшей фрагментации, перемещая t вперед.Этот аргумент устанавливает эволюцию t в соответствии с n и, таким образом, обеспечивает недостающее звено в физически обоснованной модели, которая подтверждает экспериментальные данные.

Одномерная модель

Чтобы объяснить наблюдаемое логарифмическое масштабирование, мы разрабатываем простую одномерную модель, которая предлагает, как могут образовываться дополнительные фрагменты, когда смятый лист повторно сминается, основываясь на статистических описаниях фасеточной области. и длина сегмента, сформулированные в предыдущих разделах.Нашу цель можно резюмировать следующими двумя вопросами: (1) Учитывая его текущее состояние и заданное ограничение, с какой вероятностью лист подвергнется дальнейшей фрагментации? (2) Как эта вероятность связана с непрерывными переменными в модели фрагментации уравнения (2). (1)? Во-первых, мы обращаемся к осевой симметрии нашего ограничения, чтобы упростить наш взгляд на смятие до одномерной полосы длиной L ₀ , как показано на рис. 6. Полоса характеризуется последовательностью складок в чередующихся направлениях, которые разделите полосу на случайные отрезки.{-r / \ theta}, $$

(15)

со средней длиной сегмента ( a + 1) θ . Сравнение уравнения. (15) с экспериментальными данными представлена ​​для сильно уплотненного образца на рис. 6a, b, с расширенными результатами для всех образцов, представленных на дополнительном рис. 5.

a Образец сегментированного листа с пунктирной линией, обозначающей вертикальное поперечное сечение. b Распределение длин сегментов из всех таких поперечных сечений листа в a (закрашенные точки), с формулой. (15) изображена сплошной кривой. Никакой дополнительной подгонки не производится; значение параметра формы , которое появляется в уравнении. (15) однозначно определяется из уравнения. (8) и наилучшее соответствие τ распределению площадей граней. c Схематическое изображение аналога между складыванием одномерной полосы в ограниченный в осевом направлении листом и одномерным случайным блужданием, ось времени которого для ясности продлена вертикально.Закрашенная кривая представляет собой распределение окончательного перемещения пешехода, а более темные заштрихованные области обозначают долю прогулок, которые лежат за пределами данного ограничения. d Упрощенная иллюстрация одномерного складывания, которая упрощает геометрическую оценку критического ограничения w , более подробно описано в дополнительном примечании 4. {2}} {2 {L} _ {0} \ theta} \ right) , $$

(16)

и описывает нормальное распределение нулевого среднего и дисперсии L ₀ θ .

Если теперь вводится конфайнмент в местоположениях ∣ z ∣ = w , мы затем спрашиваем, с какой вероятностью шагающий шагнет за пределы этого ограничения. Один из подходов к приближению этой вероятности состоит в том, чтобы интегрировать уравнение. (16) для всех ∣ z ∣> w , производя двустороннюю функцию выживания уравнения. (16). Хотя это не эквивалентно нашему первоначальному вопросу, поскольку промежуточные шаги могли также достигать значений, превышающих ∣ z ∣> w , это оказывается приемлемой оценкой, поскольку последний шаг имеет наибольшую дисперсию.Более точный расчет был бы для оценки вероятности того, что данная прогулка выйдет из заключения на любом этапе; тем не менее, просмотр последнего шага полезен из-за его простоты в аналитической форме и все же отражает ожидаемое поведение. Сравнение с более точной формулировкой проводится численно и представлено на дополнительном рисунке 9. И снова мы предлагаем более простую форму функции выживания, действительную для больших k , и обращаемся к дополнительному примечанию 2 для точного вывода, действительного при все к .Функция выживания уравнения. (16), S _Z ( w ; θ ) = P (∣ Z ∣> w ; w ≥0), для ограничения порога w , задается как

$$ {S} _ {Z} (w; \ theta) = 1 — \, {\ text {erf}} \, \ left (\ frac {w} {\ sqrt {2 {L } _ {0} \ theta}} \ right), $$

(17)

где erf ( z ) — функция ошибок. Чтобы ходунки с ∣ z ∣> w могли быть восстановлены в пределах ограничения, одна или несколько их шагов должны фрагментироваться, тем самым увеличивая количество сделанных шагов и уменьшая общее среднее значение, что движет эволюцией фрагментация.Это формулирует наше ключевое утверждение: рассматривая наши оригинальные листы цилиндрической формы как статистический ансамбль одномерных случайных блужданий, мы предполагаем, что прогрессия фрагментации измеряется изменением d t за одну итерацию смятия d n , должен быть пропорционален доле блужданий в ансамбле, которые оставляют ограничение на z ∣ = w : d t / d n ~ S _Z ( w ; θ ).Равным образом это вероятность того, что одно случайное блуждание покинет критическое ограничение. Отметим, что эта результирующая скорость фрагментации описывает среднюю вероятность фрагментации с учетом только ограничения w и текущего временного параметра t = 1/ θ , описывающих зрелость процесса фрагментации на данный момент; он не обеспечивает прямой корреляции между последовательными итерациями смятия, в результате чего новые складки должны происходить преимущественно по сравнению с предыдущими.Вместо этого уменьшение скорости фрагментации с n кодируется через уменьшающуюся среднюю площадь фасета с t . Более того, хотя ожидается более сильная корреляция между проходами, представляющими близлежащие разрезы листа, здесь мы рассматриваем статистическое поведение листа в целом и учитываем повышенную вероятность фрагментации для граней с большей горизонтальной протяженностью посредством взвешивания, введенного в формуле. (15). В настоящее время уравнение. (17) дает вероятность образования новых складок; однако он еще не описывает, сколько новых повреждений создается, для чего следует учитывать два дополнительных фактора: (1) Когда лист сильно ограничен плотно упакованными слоями, слои имеют тенденцию коллективно фрагментироваться, как упоминалось Султаном и Boudaoud ¹⁵ и Gottesman et al. ¹⁶ , что дает коэффициент p ~ 1/ L , так что уменьшение конечной высоты вдвое увеличивает количество дополнительных выступов вдвое. (2) В противоположном пределе низкого уплотнения грани не находятся в непосредственной близости и не должны вести себя совместно; таким образом, новое повреждение линейно зависит от степени сжатия L ₀ — L , как утверждается в Gottesman et al. ¹⁶ . С учетом этих дополнительных соображений мы предполагаем, что эволюция процесса фрагментации с итерацией смятия ведет себя как

$$ \ delta t \ Equiv \ frac {\ partial t} {\ partial n} = \ alpha \ frac {1- \ tilde {{{\ Delta}}}} {\ tilde {{{\ Delta}}}}} {S} _ {Z} (w; t), $$

(18)

, где α — подобранная константа пропорциональности. {2} / {L} _ {0} \ sqrt {2 \ pi} \), а L ₀ и R — длина листа (эквивалентно высоте ограничивающего контейнера) и радиус контейнера соответственно.{(n-1)} \) и ℓ _изм. для различных n . В совокупности результаты фиг. 4 и 7 демонстрируют четкую согласованность модели фрагментации с ожидаемым логарифмическим ростом.

a Прогнозируемое изменение общей длины складки δ ℓ _эмпир. , полученный по формуле. (12) построено против измеренного изменения длины складки между двумя последовательными складками, \ (\ delta {\ ell} _ {\ text {measure.{(п-1)} \). Открытые маркеры соответствуют сегментированным вручную данным в соответствии с предыдущими результатами, представленными в этой работе, а закрашенные кружки соответствуют данным, которые были обработаны с использованием автоматической сегментации, как подробно описано в дополнительных методах. Контрольная линия 1: 1 (пунктирная) служит ориентиром для глаза. b Общая длина складки ℓ _эмпир. , полученный по формуле. (11) в зависимости от измеренной общей длины складки ℓ _изм. . c Изменение общей длины складки δ ℓ _модель , как предсказывается уравнением.{(n)} \), полученный из уравнений. (14) и (21), против их соответствующих измеренных значений, в прямом сравнении с a и b . Цвета маркеров на всех панелях соответствуют разным значениям \ (\ tilde {{{\ Delta}}}} \), как показано на шкале цветов. Мы видим, что как эмпирические, так и производные зависимости для δ ℓ и ℓ служат сильными моделями измеренных данных и подтверждают пригодность логарифмического отношения для описания эволюции повреждений в этой системе.

2021 Бумага + свет — Helen Hiebert Studio

Вам нравится свет, проникающий сквозь бумагу? Жаждете вдохновения, получаемого от творчества? У вас есть желание общаться с другими людьми, которые разделяют те же цели? Присоединяйтесь ко мне в создании серии светящихся объектов, которые заинтригуют ваши глаза и осветят ваш дух.

• Каждый понедельник в классе будет добавляться новый урок.
• Работайте, не выходя из собственного дома или студии, когда захотите.
• Загляните в онлайн-класс в любое время, чтобы задать вопросы и поделиться своими проектами и идеями в поддерживающем и творческом онлайн-сообществе.
• У вас будет доступ к материалам курса после окончания занятий — и на неопределенный срок.
• Посещайте онлайн-сеансы Zoom вместе с Хелен.

Еженедельные уроки будут исследовательскими (подумайте о создании моделей) и конкретными (вы будете строить легкие конструкции). Я представлю широкий спектр техник и моделей для вдохновения, поскольку мы создаем внутренние и внешние арматуры из бумаги, дерева, проволоки и веревки.

Если вы проходили курс Paper + Light прошлым летом или когда-то проходили мой онлайн-курс Paper Illuminated, вы увидите новые техники и изобретательные способы изучения светящейся бумаги.

Week1 — Фонари из одного листа: Узнайте, как один лист бумаги можно превратить в скульптурный объект со складками, кривыми и втулками. Свет добавляет волшебный эффект.

Неделя 2 — Круглый абажур : Узнайте, как соединить два кольца лампы и кусок стирола, украсить почти любой декоративной бумагой, чтобы создать уникальный абажур для вашего стола или торшера.

Неделя 3 — Конструкции «гармошкой»: Повторение складки гармошкой можно усилить и осветить путем интеграции всплывающих окон, ткачества из бумаги и многого другого.

Неделя 4 — Бумажные рукава: Мы сделаем момигами (мятой бумажной ткани) и сшиваем рукава из бумаги, чтобы соединить панели деревом, веревкой и / или проволокой.

Weeks 5 + 6: Chochin: Разборные японские лампы / фонари : сконструируйте этот традиционный переносной фонарь, сделанный из тонкой бамбуковой трости, намотанной на съемную арматуру.Покрытый бумагой фонарь является складным и может складываться, что делает его легко переносимым. Эти фонари, одна из первых форм подвесного освещения в Японии, висели на фасадах японских магазинов и имели символ или название компании. Традиционно японцы не устанавливали светильники на стенах и потолках, но сегодня чочин обычно используются в качестве потолочных светильников. В этом уроке я также покажу, как подключить лампу.

Отзывы:

Я участвовал в других онлайн-курсах, но у вас самые лучшие, самые ясные и понятные презентации.Продолжайте в том же духе. Эллисон Роско, Гавайи

Хелен — опытный, щедрый и очень организованный учитель. Мне понравились все аспекты онлайн-класса, от четких видеороликов и чувства сообщества до способности работать в своем собственном темпе. Проекты и материалы были прекрасны. Онлайн-формат позволил воспользоваться обширным опытом Хелен, не тратя время и деньги на дорогу. Спасибо, Хелен! Сью Э.

Это был мой первый онлайн-класс. Видео для каждого урока были четкими и понятными.Было весело наблюдать за результатами, опубликованными другими участниками. Я нашел интерактивное общение полезным и восхитительным. Спасибо! Я с нетерпением жду еще одного онлайн-урока с вами! Барб Х.

Что вы получаете:

• Пошаговые видеоуроки к каждому уроку
• Печатные инструкции для каждого проекта
• Шаблоны
• Списки ресурсов и поставщиков
• Онлайн-класс, где вы можете задавать вопросы, делиться своей работой и получать отзывы
• Уроки по компонентам освещения: лампы накаливания и люминесцентные лампы, световые нити и светодиоды с батарейным питанием.Я также покажу вам, как подключить лампу, хотя эти плафоны можно поставить на существующие лампы.
• Создавайте произведения искусства, лампы, фонари, скульптуры и многое другое.

Как это работает:

• Когда вы зарегистрируетесь, я пришлю вам ссылку на онлайн-класс, где вы найдете полный список материалов на 1 июня.
• Каждый понедельник, начиная с 21 июня, в онлайн-классе будет доступен новый урок с видеоуроком и инструкциями в формате PDF с описанием нового проекта для изучения в течение недели.Это не живой урок; вы сможете смотреть видео в любое время, работать в своем собственном темпе и посещать онлайн-класс, чтобы задавать вопросы и делиться своей работой.
• Как студент, у вас будет неограниченный доступ ко всем урокам, вспомогательным материалам и видео.

Для тех из вас, кто посещал со мной уроки в прошлом и заказывал комплект, для этого класса не будет набора для покупки. Вместо этого я разрешаю вам сделать свой собственный уникальный выбор бумаги и дам рекомендации о том, что заказывать при регистрации, включая исчерпывающий список материалов, доступных всего у нескольких поставщиков.

Если вы хотите увидеть общий список расходных материалов перед записью на занятие, напишите мне по электронной почте: [email protected]

Камень, бумага, мнется!

В 2018 году исследователи из Гарвардской школы инженерии и прикладных наук им. Джона А. Полсона (SEAS) сделали удивительное открытие. В течение десятилетий физики пытались понять динамику смятых материалов — как тонкие плоские листы образуют неупорядоченные трехмерные сети складок и складок.Вопрос был в том, подчиняется ли смятие каким-то общему правилу или правилам?

Ответ может помочь физикам понять, как все, от графеновых листов до тектонических плит, мнется, и может помочь инженерам разрабатывать лучшие материалы для целого ряда приложений, от квантовых вычислений до солнечных парусов.

Проведя серию экспериментов, исследователи обнаружили, что в хаосе действительно был порядок. Команда неоднократно мяла и разминала тонкие листы майлара, которые образуют складки так же, как и обычная бумага.Они заметили, что, хотя каждый отдельный лист имел уникальный рисунок складки, общая длина складки на каждом листе увеличивалась логарифмически.

«Удивительно, что эта, казалось бы, хаотическая система вообще следует каким-либо правилам, но на самом деле — удивительно, что она следует простому логарифму», — сказал Кристофер Райкрофт, Джон Л.Лёб, адъюнкт-профессор технических и прикладных наук в SEAS, и один из соавторов исследования 2018 года.

Но почему?

Этому вопросу посвящена новая статья Райкрофта и его команды, опубликованная в Nature Communications.

«Из предыдущего исследования мы знали, что логарифмический рост длины складки — устойчивое явление, которое можно воспроизводить снова и снова, но нам не хватало физической основы того, почему это происходит», — сказала Йована Андреевич, аспирантка SEAS. и первый автор статьи.

Чтобы ответить на этот вопрос, исследователи посмотрели на плоские участки майлара между складками.

«Мы хотели знать, как эти отдельные области между складками развивались с течением времени», — сказал Райкрофт.

Но сеть складок на смятом майларе была невероятно хаотичной, и автоматизированным алгоритмам было трудно отсеять шум, чтобы найти эти области. Итак, Андреевич, который также является художником, решил вручную прорисовать складки. Кропотливая и кропотливая работа над каждым листом занимала часы, а иногда и дни.Но, в конце концов, это открыло новый способ понимания процесса сминания.