Разное

Шар из пятиугольников – Шарик из пятиугольников — запись пользователя MariKo (Mari_Kowalsky) в сообществе Рукоделие в категории Мастер — классы, совместный пошив, он-лайны и другие рукодельные процессы (читаем правила!)

Содержание

Правильный додекаэдр — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Правильный додекаэдр
Dodecahedron.svg
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип правильный многогранник
Свойства выпуклый
Элементы
12 граней
30 рёбер
20 вершин
Χ = 2
Грани правильные пятиугольники
Конфигурация вершины 53
Двойственный многогранник правильный икосаэдр
Dodecahedron vertfig.png

Dodecahedron flat.svg

Обозначения U23, C26, W5
Символ Шлефли {5,3}
Символ Витхоффа[en] 3 | 2 5
Диаграмма Дынкина CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Группа симметрии Ih, H3, [5,3], (*532)
Группа вращения I, [5,3]+, (532)
Длина ребра a{\displaystyle a}
Площадь поверхности 325+105a2{\displaystyle 3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}}
Объём 15+754a3{\displaystyle {\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4}}a^{3}}
Двугранный угол arccos⁡(−1/51/2)≈116.565{\displaystyle \arccos(-1/5^{1/2})\approx 116.565}
Телесный угол при вершине π−tan−1⁡(211)≈2.96{\displaystyle \pi -\tan ^{-1}\left({\frac {2}{11}}\right)\quad \approx 2.96}
Commons-logo.svg Медиафайлы на Викискладе

Пра́вильный додека́эдр (от др.-греч. δώδεκα — «двенадцать» и εδρον — «грань») — один из пяти возможных правильных многогранников. Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников[1], являющихся его гранями. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

Додекаэдр и его описанная сфера

Пожалуй, самый древний предмет в форме додекаэдра был найден в северной Италии, около Падуи, в конце XIX века, он датируется 500 г. до н. э. и предположительно использовался этрусками в качестве игральной кости[2][3].

Додекаэдр рассматривали в своих сочинениях древнегреческие учёные. Платон сопоставлял с правильными многогранниками различные классические стихии. О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»[4]. Евклид в предложении 17 книги XIII «Начал» строит додекаэдр на рёбрах куба[5][6]:132-136. Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением додекаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что вершины додекаэдра лежат в параллельных плоскостях[7][6]:318-319[8].

На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых римскими додекаэдрами, относящихся ко II—III вв. н. э., назначение которых не совсем понятно.

Если за длину ребра принять a{\displaystyle a}, то площадь поверхности додекаэдра равна

S=3a25(5+25)≈20,65a2{\displaystyle S=3a^{2}{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\approx 20{,}65a^{2}}

Объём додекаэдра:

V=a34(15+75)≈7,66a3{\displaystyle V={\frac {a^{3}}{4}}(15+7{\sqrt {5}})\approx 7{,}66a^{3}}

Радиус описанной сферы[9]:

R=a4(1+5)3≈1,4a{\displaystyle R={\frac {a}{4}}(1+{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}\approx 1{,}4a}

Радиус вписанной сферы[9]:

r=a410+225≈1,11a{\displaystyle r={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+{\frac {22}{\sqrt {5}}}}}\approx 1{,}11a}

  • Все двадцать вершин додекаэдра лежат по пять в четырёх параллельных плоскостях, образуя в каждой из них правильный пятиугольник.
  • Двугранный угол между любыми двумя смежными гранями додекаэдра равен arccos(-1/√5)≈116°,565[9].
  • Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°, телесный (трёхгранный) угол равен arccos(-11/5√5)≈2,9617 стерадиан.
  • В додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра.
  • Додекаэдр имеет три звёздчатые формы.
  • В додекаэдр можно вписать пять кубов. Если заменить пятиугольные грани додекаэдра плоскими пятиугольными звездами так, что исчезнут все ребра додекаэдра, то получим пространство пяти пересекающихся кубов. Додекаэдр как таковой исчезнет. Вместо замкнутого многогранника появится открытая геометрическая система пяти ортогональностей. Или симметричное пересечение пяти трехмерных пространств.
  • Ближайшая параллельная к произвольно выбранной грани плоскость, в которой лежат пять вершин, не принадлежащих выбранной грани, отстоит от этой грани на расстояние радиуса описанной вокруг данной грани окружности. А радиус описанной вокруг этих пяти вершин окружности равен диаметру вписанной в любую из граней окружности. Эти две величины равны, соответственно, 5+510a{\displaystyle {\sqrt {5+{\sqrt {5}} \over 10}}a} и 5+12⋅5+510a{\displaystyle {{\sqrt {5}}+1 \over 2}\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}} \over 10}}a}, где a{\displaystyle a} — длина ребра додекаэдра.
  • Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.
  • Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Правильный додэкаэдр также индуцирует замощение сферы правильными пятиугольниками.

  1. Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  2. Stefano De’ Stefani. Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a facce pentagonali scolpite con cifre, scoperto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa (итал.) // Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti : diario. — 1885-86. — P. 1437—1459. См. также изображение этого предмета в конце тома, стр. 709 файла со сканом
  3. Amelia Carolina Sparavigna. An Etruscan Dodecahedron. — arXiv:1205.0706.
  4. ↑ Платон. «Тимей»
  5. ↑ Euclid’s Elements. Book XIII. Proposition 17 (неопр.).
  6. 1 2 Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.
  7. ↑ Оригинальный текст на древнегреческом языке с параллельным переводом на латинский язык: Liber III. Propos. 58 // Pappi Alexandrini Collectionis. — 1876. — Т. I. — С. 156—163.
  8. Roger Herz-Fischler. A Mathematical History of the Golden Number (англ.). — Courier Dover Publications, 2013. — P. 117—118.
  9. 1 2 3 Доказательство приведено в: Cobb, John W. The Dodecahedron (англ.) (2005-2007). Дата обращения 1 июня 2014.
  10. ↑ В таблице XVII четвёртого тома его монографии о радиоляриях она обозначена номером 2
  11. ↑ The optimal phase of the generalised Poincare dodecahedral space hypothesis implied by the spatial cross-correlation function of the WMAP sky maps (англ.).
  12. ↑ Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background (англ.).
  13. Jeffrey Weeks. The Poincare Dodecahedral Space and the Mystery of the Missing Fluctuations (англ.). Архивировано 4 ноября 2012 года.
  14. 1 2 A. T. White. Graphs of Groups on Surfaces: Interactions and Models. — Elsevier, 2001. — P. 45. — 378 p. — ISBN 0-080-50758-1, 978-0-080-50758-3.
⛭
Многоугольники
Звёздчатые многоугольники
Паркеты на плоскости
Правильные многогранники
и сферические паркеты
Многогранники Кеплера — Пуансо
Соты
Четырёхмерные многогранники
  • {3,3,3}
  • {4,3,3}
  • {3,3,4}
  • {3,4,3}
  • {5,3,3}
  • {3,3,5}

Шарик из пятиугольников — запись пользователя MariKo (Mari_Kowalsky) в сообществе Рукоделие в категории Мастер — классы, совместный пошив, он-лайны и другие рукодельные процессы (читаем правила!)

Итак, шьем! Это очень просто, чесслово)

1. Распечатать шаблон, я нашла вот такой:
в настройках печати выбрала "на всю страницу" и книжную раскладку, сторона пятиугольника 2.5 см
Вырезаем, 12 штук должно быть

2. Лезем в пакетик, коробочку или тазик за лоскутками, релаксируем там и ностальгируем))
отбираем нужное, утюжим


3. Режем.. можно квадратики, можно кракозяблинки, как получится.. я у бОльшеньких квадратиков немного уголки срезаю, мне так удобней. Можно с лицевой стороны приколоть шаблон булавочками

4. Загибаем ткань на шаблоны и пришиваем. Эти я использовала в третий раз, поэтому они такие не оч., но это не важно.. Получаем такие вот таблеточки, уже симпатичные, их надо поутюжить без пара

5. Раскладываем на столе по два цветочка (из 6-ти деталей) и мееелкими стежками сшиваем (с изнанки). Получается вот так. Теперь, не вынимая шаблонов, сшиваем их между собой, оставляем незашитыми 4 грани, чтоб можно было вывернуть.
Убираем намётку, иголочками поддеваем и вынимаем бумажные шаблоны и прошиваем с изнанки еще две грани, потом выворачиваем, набиваем и сшиваем аккуратно потайным швом (уже с лицевой сторон) оставшееся отверстие.

Не забываем про веревочку! можно взять сутаж, вощеный шнур, завязать узелок и вшить его в уголочек.

Присоединяйтесь, задавайте вопросы и показывайте что у вас получилось. Я хоть буду знать что не зря этим занимаюсь.. или зря.. )))))

как использовать шаблон

Вышитая кривулька: шарик из 12 пятиугольников

Еще один шарик в коллекцию кривулек шьется из 12 одинаковых пятиугольников.

Такой шарик будет чудесно выглядеть на елочке в качестве новогодней игрушки (дизайн Marie Suarez).

А дизайнер Hazel Blomkamp разработала специальную серию цветочных мотивов для шарика:

Итак, для работы нам понадобится:

  1. Канва Аида или равномерка (для 12 деталей шарика).
  2. Нитки мулине
  3. Лента или шнур, если шарик вы будете подвешивать.
  4. Материал для набивки (например, синтепон или шарик из пенопласта соответствующего диаметра).
  5. Фурнитура для украшения (бисер, бусины, пуговицы).
  6. Иголка
  7. Ножницы

Для начала вышиваем на канве 12 одинаковых пятиугольников. Можете воспользоваться этой схемой.

Шарик, вышитый по данной схеме, на канве 14 каунта, получится довольно большой — примерно 12-13 сантиметров в диаметре.

А можете начертить схему нужного размера самостоятельно. Для этого вам понадобится лист в клетку или миллиметровка, циркуль и линейка.

С помощью циркуля рисуем на листе окружность, в которую будем вписывать пятиугольник.

Умножаем радиус окружности на 1,18. Полученное число будет длиной одной из сторон пятиугольника. С помощью линейки, находим в нижней части окружности те точки, расстояние между которыми будет равно полученному результату. Отмечаем точки.

Передвигаем линейку. От полученных точек откладываем то же расстояние наискосок (до пересечения с окружностью). Всего получается 5 точек.

Соединяем 5 точек. Вот и готов наш пятиугольник.

Итак, после того, как у вас появится схема пятиугольника, начинаем вышивать 12 деталей. Делаем это с помощью шва «назад иголку» или бэкститча.

Можно немножко облегчить себе дальнейшую работу и вышивать детали не по отдельности, а частично соединенными — согласно этой схеме.

Но и эту схему лучше нарисовать на миллиметровке — чтобы понимать, как должен идти шов «назад иголку».

В полученных пятиугольниках вышиваем выбранные сюжеты.

Начинаем сборку. Разложите свои пятиугольники по 6 штучек — в форме вот такого солнышка.

Сшиваем их с помощью шва для бискорню (цепляя только ниточки контура, не трогая саму канву).

Получается вот такая «тарелочка»

Если ваши сюжеты носят абстрактный характер, то при сшивании можно не обращать внимания на «верх-низ». Если же вы не хотите, чтобы вышитый цветочек или человечек получился вверх ногами, то надо быть более внимательным при сборке. Детали одной «тарелочки» (верхней) должны «смотреть» на донышко, детали второй «тарелочки» (нижней) — от донышка.

Аналогично сшиваем вторую (верхнюю) «тарелочку». Перед сшиванием последних деталей «тарелочки» не забудьте вставить шнурок или ленточку для подвешивания.

Теперь соединяем две «тарелочки» между собой.

Перед сшиванием последних деталей, вложите внутрь синтепон или другой наполнитель.

Шарик готов!

И еще немного идей для изготовления кривульки — шарика:

Вот такие небольшие схемки отлично подойдут для шарика:

А можно воспользоваться идей этого шарика-темари и вышить в каждом пятиугольнике большой цветок. Получится просто замечательно!

ПОДЕЛИСЬ!
«Крестик» плохого не посоветует! 🙂

Вышитая кривулька: шарик из 12 пятиугольников

Как сшить кривульку-шарик в виде футбольного мячика

Вышитая кривулька: шарик из 12 пятиугольников

Еще один шарик в коллекцию кривулек шьется из 12 одинаковых пятиугольников.

Такой шарик будет чудесно выглядеть на елочке в качестве новогодней игрушки (дизайн Marie Suarez).

А дизайнер Hazel Blomkamp разработала специальную серию цветочных мотивов для шарика:

Итак, для работы нам понадобится:

  • Канва Аида или равномерка (для 12 деталей шарика).
  • Нитки мулине
  • Лента или шнур, если шарик вы будете подвешивать.
  • Материал для набивки (например, синтепон или шарик из пенопласта соответствующего диаметра).
  • Фурнитура для украшения (бисер, бусины, пуговицы).
  • Иголка
  • Ножницы
  • Для начала вышиваем на канве 12 одинаковых пятиугольников. Можете воспользоваться этой схемой.

    Шарик, вышитый по данной схеме, на канве 14 каунта, получится довольно большой — примерно 12-13 сантиметров в диаметре.

    А можете начертить схему нужного размера самостоятельно. Для этого вам понадобится лист в клетку или миллиметровка, циркуль и линейка.

    Обратите внимание

    С помощью циркуля рисуем на листе окружность, в которую будем вписывать пятиугольник.

    Умножаем радиус окружности на 1,18. Полученное число будет длиной одной из сторон пятиугольника. С помощью линейки, находим в нижней части окружности те точки, расстояние между которыми будет равно полученному результату. Отмечаем точки.

    Передвигаем линейку. От полученных точек откладываем то же расстояние наискосок (до пересечения с окружностью). Всего получается 5 точек.

    Соединяем 5 точек. Вот и готов наш пятиугольник.

    Итак, после того, как у вас появится схема пятиугольника, начинаем вышивать 12 деталей. Делаем это с помощью шва «назад иголку» или бэкститча.

    В полученных пятиугольниках вышиваем выбранные сюжеты.

    Начинаем сборку. Разложите свои пятиугольники по 6 штучек — в форме вот такого солнышка.

    Сшиваем их с помощью шва для бискорню (цепляя только ниточки контура, не трогая саму канву).

    Получается вот такая «тарелочка»

    Аналогично сшиваем вторую (верхнюю) «тарелочку». Перед сшиванием последних деталей «тарелочки» не забудьте вставить шнурок или ленточку для подвешивания.

    Теперь соединяем две «тарелочки» между собой.

    Перед сшиванием последних деталей, вложите внутрь синтепон или другой наполнитель.

    Шарик готов!

    И еще немного идей для изготовления кривульки — шарика:

    Вот такие небольшие схемки отлично подойдут для шарика:

    А можно воспользоваться идей этого шарика-темари и вышить в каждом пятиугольнике большой цветок. Получится просто замечательно!

    ПОДЕЛИСЬ!
    «Крестик» плохого не посоветует! 🙂

    Сложные кривульки (окончание)

    Вышитая кривулька: шарик из 12 пятиугольников

     Дорогие наши Рукодельницы!

     Сегодня мы завершаем обзор так называемых кривулек – маленьких вышитых штучек самой разнообразной формы.(Начало смотрим здесь)

    Очевидно, что чем больше вышитых фрагментов, тем объемнее и необычнее получается кривулька. Кстати, так уж вышло, что почти все фигурки, попавшие в сегодняшний обзор, можно назвать новогодними, так как они лучше всего подойдут для украшения новогодней елки.

    Источник

    Вот, например, Кристалл (или еще его называют Сосулька) – чудесное украшение на елочку, не так ли? Четыре вышитых квадратика легко превращаются в кристалл. Для этого по два квадрата сшивают кармашком, а потом соединяют их вместе, сместив детали относительно друг друга на 900.

    Украсить можно кисточкой, бусинами и пр. украшениями.

    Кубики… Кубиками можно не только украсить елку, но и приспособить в качестве подвески. А еще – изготовить много мягких кубиков для деток: с их помощью можно строить башни, крепости или просто использовать в качестве комнатных снежков. Ну, если, конечно, рука поднимется бросить вышивальное произведение искусства. 

    Источник

    Кубики можно собрать как из четырех, так и шести кусочков. Думаю, с шестью квадратами, которые образуют стороны кубика, вопросов возникнуть не должно, это обычно. 

    Источник

    Необычно превращение четырех шестиугольников в кубик, тем не менее, это волшебное превращение возможно.

    Источник

    Такой кубик легко превращается в шарик, для этого предыдущую форму следует всего лишь набить поплотнее сверху и снизу.

    И раз уж речь пошла о шариках, то стоит заметить, 

    что шар можно получить из восьмидеталей (сшиваются дольки разной ширины)

    Источник

     из двенадцати пятиугольников (вдохновением на создание такого шара, видимо, был футбольный мяч)

    Источник

      Из 18 деталей

    Источник

     и, наконец, из 36!

    Источник

    Как видите, с каждым разом задача усложняется! Ну, такой уж народ, рукодельницы, неугомонный и с фантазией! Честь им и хвала за это! А также большое уважение к тем, кто повторит их подвиг терпения.

    Еще одна фигурка – домик.  

    Источник

    Домики сшиваются из 6-7 вышитых фрагментов разной формы (крышу можно сделать как из цельного вышитого фрагмента, так и из двух одинаковых деталей)

    Согласитесь, здорово украсить такими очаровательными игрушками новогоднюю елку. Надо сказать, что домик вообще игрушка очень символическая, его можно и на новоселье приспособить, и оберегом дома он может послужить.

    Причем, сшивать его можно как из обычной канвы, набив каким-либо наполнителем, так и из пластиковой канвы. В первом случае домик получится мягким и приятным на ощупь.

    Во втором случае – четко держащим форму и без наполнителя. 

    Важно

    Если вы все-таки решили вышить домик на пластиковой канве, но найти ее достаточно сложно, можно воспользоваться для этого клеем ПВА. Рецепт превращения обычной канвы в «пластиковую» следующий: берем 1 часть клея и  2 части воды, хорошенько перемешиваем и замачиваем в растворе нашу канву, даем пропитаться и сушим.

    Сушить лучше на такой поверхности, которая не приклеится к пропитанной раствором канве, например, на фольге. Конечно, в качестве такая канва будет уступать настоящей пластиковой, но возможно, вам понравится и такой вариант.

    Стоит также помнить, что если клея будет нанесено больше, чем следовало бы, или он недостаточно высохнет, во время работы он может пачкать нитки вышивки.

    Продолжаем…

    Источник

    Еще одна чудесная кривулька – Звезда – сшивается из 10 одинаковых квадратиков. Сначала по пять квадратов соединяются друг с другом по одной стороне, а затем заготовки соединяются вместе. Размер звезды можно варьировать – чем больше квадраты заготовки, тем больше звезда. 

    Источник

    Еще одна подушечка – кривулька  получила название Пятиклинка. Для ее изготовления нам понадобятся 15 квадратиков одинакового размера. Собирается она как Звезда, а нужный объем ей придают дополнительные квадратики, вшиваемые между деталями Звезды. 

    Источник

    Если те же 15 квадратов сшить несколько по-другому, получится Снежинка. Собирать ее очень неудобно, набивается она с трудностями, но результат не может не радовать.

    Источник

    Существует еще одна модификация пятиклинки – Лотос. Если егоне набивать слишком сильно, то получится чудесный распускающийся розовый цветок. 

    На этом в перечне кривулек можно было бы поставить точку, но… мы не будем! Ведь фантазия рукодельниц ничем не ограничена, и каждый из нас вполне может стать автором новой рукодельной кривульки. Надеюсь, что подбор вышивальных «крошек» вдохновит Вас на создание своего уникального изделия.

    А в следующий раз мы поговорим с вами о том, как применить вышивку на кухне.

    Мк шарик (почти кусудама) на все случаи жизни!

    Вышитая кривулька: шарик из 12 пятиугольников

    Готовый шарик! Можно подвесить, а можно поставить на своеобразные “ножки-листики”, которые уже есть, благодаря особенностям складывания этой формы.

    Готовый шаблон. С его помощью мы вырежем 12-ть заготовок для складывания шарика.

    Начинаем складывать. прорезь к прорези, встык. Как правило, начинаем складывание вокруг одной детали, по всем её пяти сторонам, постепенно добавляя новые элементы.

    При складывании с наружной стороны шарика образуется вот такой трилистник.

    Половина шарика в перевёрнутом виде очень похожа на вазочку для мелочей или печенья, не правда ли? Ещё немного и шарик на первом фото – готов! Если Вам интересно, как сделать такой шаблон при помощи знаний по геометрии и соответствующих принадлежностей – я охотно поделюсь своими изысканиями в этой области, т.к.

    придумала этот способ разчерчивания ещё в 8 классе. Как и многие другие дети я использовала ранее готовый шаблон из детского журнала, он успешно подходил по размерам для открыток. А что, если нужен другой размер? Ведь тогда у нас не было ни ксероксов, ни принтеров, ни сканеров. ни компьютеров, ни интернета…

    Копировали на кальку или пергамет вручную, используя стекло и источник света, будь то оконное стекло и солнце на улице , или же стекло, лежащее на двух табуретках, под которыми стоит включённая лампочка.

    Итак, Начинаем чертить шаблон одного из 12-ти элементов такого шарика. При помощи циркуля, ленейки и транспортира, ВЫ сможете самостоятельно делать заготовки под любой размер.

    Вдруг ВАМ захочется эту форму увидеть в качестве абажура на кухне? Гибкая цветная плёнка, как для светофильтра , вполне подойдёт! Смотрите мой фоторепортаж с Международной выставки дизайна, фото № 43 https://stranamasterov.ru/node/92676

    Итак, начертим круг выбранного нами диаметра.

    Отметим точку пересечения прямой и окружности. Это будет точка А.

    Немного вспомним начертательную геометрию из школьного курса. Окружность равна 360 градусам, а нам нужны сектора. Их будет ровно 5-ть, а значит, угол для каждого будет равен 72 градусам. Берём транспортир и отмечаем засечками на окружности величину первого угола АОВ.
    При помощи того же циркуля, делим кривую окружности на равные сигменты.

    Закрепим результат, проведя из центра О радиальные лучи.

    Совет

    Точки пересечения радиусов с окружностью соединим отрезками. Например, первый отрезак АВ.
    Эти отрезки и обозначенные ранее диаметральные прямые помогут нам вдальнейшем обозначить линию надреза для точного соединения деталей в шарик.

    Теперь нам надо сформировать сами “лепестки”. Поставим сначала ножку циркуля в одну из точек пересечения на окружностьи, например, в точку А, проведём окружность. Теперь поставим в точку В и проведем такую же окружность.

    Обратите внимание, что радиус меньшей окружности должен пересекать радиус большей по радиальному лучу. У нас появляются точки Д и Д1. Обе точки лежат на одной прямой. Причём Д! является точкой пересечений диаметральной прямой и окружности.

    Значит диаметр маленькой окружности для лепестков выбран правильно. Допустимы небольшие отклонения.

    Переместив циркуль в центр О , задаём радиус ОД. Это даст нам новые точки, аналогичные точке Д, которые будут являться центрами окружностей для создания “лепестков”.

    Теперь, пройдясь по каждой точке аналогичной точке Д,, обозначим новые окружности с радиусом R. Они и станут нашими “лепестками”.
    Шаблон практически готов.

    В итоге должен получиться вот такой “цветочек”. Его можно распечатать на принтере, если лень самому делать шаблон. Такие модули ещё в детстве мы делали из поздравительных открыток, которые исправно писались и отправлялись адресату. На одной открытке можно было разместить два таких элемента, а если был важен рисунок, то только один.

    Соответственно открыток уходило от 6 до 12-ти. К новому году мне ещё нравилось брать некоторые фотографии и вставлять в “цветочек”, как в рамочку. Думаю, сегодня бы сказали, что это в стиле скрапбукинга. Вообще, такие шарики можно было оформлять в любой известной тогда технике.

    Ещё очень красиво получались шарики, стороны которого были оформлены изонитью.

    Обратите внимание

    Обращаю ВАШЕ внимание на то, что прорези на составляющих элементах лучше делать перед сборкой, т.е. тогда, когда оформлена серединка (при необходимости такого оформления).

    Сегодня, вспоминая детские забавы, мне захотелось сделать такой шарик с использованием техники айрис-фолдинг и показать его вам.
    Для этого надо было расчитать все необходимые позиции.

    Используя всем известный принцип, откладываю на каждой из сторон 15мм, соединяя точки отрезками.

    Провожу ещё одно аналогичное действие. Когда Вы будете по шаблону прикладывать полоски, они будут идти таким же шагом и в той же последовательности.

    Получилась вот такая “розочка” в пятиугольнике.

    Так как будем заполнять середину не просто в открытке, а с детальке с прорезными частями, надо предусмотреть часть края, который будет скрывать наружные полоски для приклеивания. На предыдущем общем шаблоне (рис.9) вы видели, что я отступила немного от края, а внутреннюю часть разметила на сектора, Этот белый шаблон, нам ещё понадобится.

    Распечатав заготовки “цветков”, вырезаю серединку по отмеченной линии.

    Положив заготовку изнаночной стороной кверху, подкладываю белый шаблон (рис. 9), вот он и пригодился. Подкладывая к каждому прорезанному окошку, можно обойтись одним таким шаблоном.

    Начинаем укладывать полоску на полоску, не забываем убирать лишнее, предварительно промерив и обозначив края полосы, которую надо приложить и закрепить клеем.

    Повторяем манипуляции, пока не заполним весь периметр. Как только мы отойдём от края, можно уже не озадачиваться размером и формой полосы, все края уже будут укладываться внутрь без помех.

    Важно

    Приподнимаем заготовку….
    В образовавшееся окошко можно поместить фотографию, тогда Ваш шарик уже будет выполнен в технике скрапбукинга, о чём я писала здесь – https://stranamasterov.ru/node/85973

    …. и вот как она выглядит с лицевой стороны.

    Вырезаем заготовку, оформляя прорези, где это необходимо.

    Вот и наш элемент со вставкой в технике айрис-фолдинг. Красиво?

    Можно каждый элемент оформить именно таким образом! Выбор только за ВАМИ!

    Кривулька ЛОДОЧКА

    Вышитая кривулька: шарик из 12 пятиугольников

    ***************************************************

          Волшебство кривулечных превращений – это появление объёмных фигурок из плоскостей вышитых квадратов и прямоугольников. 

          Объёмные фигуры можно получить и из иных заготовок – треугольников, пятиугольников, шестиугольников. Но волшебство пропадает! 

         И действительно, можно нарисовать любую выкройку и сшить все “эдры”: тетраэдры, додекаэдры, октаэдры, икосаэдры, – а также конусы, пирамиды, цилиндры, параллелепипеды. Ничто не мешает закруглять линии выкроек и изготавливать хоть слонов, хоть Дедов Морозов. Но это уже не кривульки, а просто игрушки.

           И вот сидела я как-то зимним вечером в середине декабря, ждала Новый год и думала: “Если волшебство есть, то почему не  в моей голове? Она – такое же божье место, как и все остальные на белом свете”.

          Из этой мысли, тетрадных листков и скотча получилась объёмная фигурка, похожая на лодочку: острый угол-конус наверху, по бокам – треугольнички, как нос корабля и корма у него же, а внизу – прямоугольное днище.

          Для кривульки ЛОДОЧКА нужны три квадрата. Число клеточек на сторону – чётное, поскольку нужен изгиб сторон точно по центру.

      У меня – 30 клеточек на 30 клеточек.

           Вышивать можно как угодно и что угодно. Но я пыталась подстроиться под геометрию кривульки. 

    Совет

           А схемы были нарисованы на листочке в клеточку. Компьютерные схемы рисовать  и сложнее, и дольше. Они – только для блога))).

           (Затем следуют обычные для изготовления любой кривульки процедуры: проложить шов “назад-иголку” по периметру всех заготовок; обрезать, оставив припуски в 3-4 клеточки; срезать уголки; загнуть припуски на изнанку и плотно-плотно прижать. Соединяя стороны, нужно использовать “кривулечный шов”: расположив стежки строго друг напротив друга, протыкать иглой на лицевой стороне два напротив лежащих стежка.)

          Сначала следует сшить по одной стороне два квадрата. А третий пришить сбоку и по центру. 

            А затем следует ориентироваться на сторону бокового квадрата (того, что в одиночестве). Нужно, изогнув угол, присоединить к ней оставшуюся половинку стороны находящегося рядом квадрата. 

           И ещё раз изогнуть угол и пришить по половинке стороны. Если нить длинная, то так и следует шить отрезки по очереди, не слишком задумываясь. Так же изготавливается и бискорню. При этом важно находить середину каждой стороны квадрата.

            Эти швы следует проложить с двух сторон. В итоге получится вот такая фигура.

          Затем следует ещё раз изогнуть угол и сшить вот эти – горизонтальные – отрезки сторон квадратов.

           И последним проложить вертикальный шов.

          Как и у многих кривулек, следует вшить в верхний угол петельку. Бисеринки – это уже по желанию.

           И получится вот такая ЛОДОЧКА. Настоящая кривулька: непонятно, как сделанная, со всех сторон разная, маленькая и интересная.

    *******************************

    Герман Таллекен. Двадцать забавных фактов о шестиугольной сетке [2/2]

    Вышитая кривулька: шарик из 12 пятиугольников

    Первая часть.

    11. Возможно, марсианские сооружения будут состоять из шестиугольных модулей

    Да, шестиугольные сетки не только для пчёл.

    Этот дом называется Queen B, и создан, чтобы защищать людей от погоды и излучения на Марсе. Вот заявленные авторами характеристики этого дома.

    • Полноценная кухня, две ванных, две спальни, садик, лаборатория 3D-печати, комната отдыха, прачечная и совмещённая с раздевалкой декомпрессионная.
    • Теплосберегающая конструкция с прочной крышей, защищающей от обломков.
    • Панели из обеднённого урана, доводящие радиацию до безопасного уровня.
    • Эстетичный вид привлекает прессу, помогает освещать миссию и вербовать добровольцев.

    Последний пункт важен для игр: шестиугольные постройки привлекают прессу. 🙂

    12. Нельзя раскрасить шестиугольную сетку, двумя цветами, чтобы соседние клетки были разных цветов

    Это иногда неудобно для игр на двоих.

    А тремя и более цветами уже можно. Трёхцветная раскраска используется в гексагональных шахматах. Слон ходит по клеткам одного цвета, как и в обычных шахматах.

    13. Сферу нельзя замостить шестиугольниками

    Ближайшее, что можно сделать — добавить 12 пятиугольников. Полуправильные сферы наподобие этой основаны на икосаэдре (правильном 20-граннике), см. видео (спасибо @hamishtodd1):

    Есть много способов сделать сферу из шестиугольников и пятиугольников, и химики изучают всё это вместе с другими фуллеренами (молекулами углерода в форме сфер, труб и подобного).

    Из шестиугольников можно сделать цилиндр, тор и даже ленту Мёбиуса.

    Обратите внимание

    Хотя сферу нельзя сделать из одних шестиугольников, можно сделать, чтобы тор или цилиндр походил на сферу. Подобная схема используется в игре «антипод» (шесть угловых клеток в действительности квадраты).

    Другая схема — свёрнутый шестиугольник (то есть тор), наложенный на полусферу, как в этой демонстрации.

    14. Полигекс — плоская фигура, состоящая из нескольких одинаковых шестиугольников, соединённых сторонами

    Фигуры в тетрисе называются тетрамино (четыре квадрата, соединённых сторонами). Если квадратов не обязательно четыре — то полиомино. Шестиугольный эквивалент полиомино — полигекс.

    Есть много занимательных задач, связанных с полигексами. Наиболее распространённый тип — собрать нужную фигуру из полигексов. Неизвестна формула, сколько существует полигексов n-го порядка.

    15. Выбор между «лежачими» и «стоячими» шестиугольниками — это не просто вопрос красоты

    Мы обследовали этот вопрос на gamedev.stackexchange на предмет «за» и «против».

    • Стоячий вариант лучше передаётся раскладкой клавиш. Для движения можно использовать WEADZX, по аналогии с WASD на квадратной сетке. Хотя для лежачей сетки подойдёт и QWEASD.
    • Стоячий вариант лучше подходит для псевдотрёхмерной (изометрической) перспективы, где нижний ряд ближе и верхний дальше. Высокие спрайты не будут загораживать центр клетки за ними, только границу. Возможно, лежачий вариант окажется лучше для вида «сверху вниз».
    • Если вы выбираете лежачие шестиугольники, их можно сделать 2n×n и получить 45-градусные диагонали. Такой масштаб может передавать глубину, особенно если высокие спрайты будут загораживать клетки за ними.
    • Для сетки N×N стоячая раскладка приведёт к «широкой» сетке, вписывающейся в обычный монитор для ПК. Другими словами, если вы хотите, чтобы карта вписывалась в широкий экран и была как можно более «квадратной», ваш выбор — стоячие шестиугольники. Или, если экран маловат (карта великовата), это даст игроку лучший обзор и меньше прокрутки.
    • На лежачих шестиугольниках все стены будут видны. Стоячие шестиугольники дадут стены, идущие по вертикальным линиям, и на них особых деталей (как, например, двери или ворота) не нарисуешь. А если ещё и сжать стоячие шестиугольники до 2n×n, как говорилось ранее, у косых стен будет совсем небольшой наклон — arctg 1/4, вместо 45° для сжатых лежачих. Другими словами, если вы имитируете вид с птичьего полёта или используете пиксельную графику, лежачие шестиугольники дадут лучшую картинку.

    16. Только три вида шестиугольников могут замостить плоскость

    Плоскость можно замостить не только правильными шестиугольниками. Для выпуклых шестиугольников есть три группы:

    • A + B + C = 360°, a = d
    • A + B + D = 360°, a = d, c = e
    • A = C = D = 120°, a = b, c = d, e = f

    С этими замощениями можно поиграть в программе (спасибо @mike_geogebra).

    А для пятиугольников неизвестны все типы, способные замостить плоскость. Мы знаем 44 типа, и могут быть другие.

    17. Шестиугольные координаты можно задавать не векторами, а комплексными числами

    Координаты на сетке можно задавать не векторами, а комплексными числами. Координаты на квадратной сетке называются гауссовыми целыми. На шестиугольной сетке — эйзенштейновыми целыми.

    У этих целых много общего с действительными целыми. Например, можно делить нацело или с остатком, можно задать простые числа, а значит, выстроить целую теорию чисел.

    Такие целые можно применять в некоторых алгоритмах, например, в раскраске сеток. Из этих алгоритмов можно делать более сложные алгоритмы. См. также на StackExchange.

    18. Двойственная сетка для шестиугольной — треугольная

    Это значит: если какая-то игра играется в узлах треугольной сетки, она, по сути, играется на клетках шестиугольной. Этот факт полезен и для разработки игр, и для написания алгоритмов. Если вы пишете «уголки», вам надо писать логику на шестиугольной сетке, а не на треугольной!

    19. Если нужно уменьшить количество фрагментов, вместо шестиугольной сетки можно взять треугольную

    Есть много игр с модульным полем: фрагменты прикладываются друг к другу, чтобы совпадали стороны, и получаются большие фигуры. Фрагментов в таких играх может быть немало. Один из способов решить эту проблему — разделить шестиугольники на треугольники. Это сильно уменьшит объём коробки. Особенно это полезно для компьютерных игр, где треугольники можно сделать невидимыми для игрока.

    20. Из шестиугольной сетки можно сделать псевдотрёхмерные кубы

    Изометрическая проекция куба — шестиугольник. Если разделить каждый шестиугольник на три четырёхугольника и подходящим образом покрасить, сетка будет походить на штабель кубов. (А если каждый четырёхугольник считать клеткой, получается ромбическая сетка. Ромбические сетки тоже программируют на основе шестиугольных.)

    Этот факт эксплуатируют во многих играх. Первая компьютерная игра, сделавшая это,— Q*bert, в то время (1982) её хвалили за трёхмерную графику.

    А если шестиугольники могут перекрываться, можно сделать ещё более интересные трёхмерные эффекты. Это используентся в карточных играх наподобие этих двух.

    Мастер-класс темари “Вихри”

    Вышитая кривулька: шарик из 12 пятиугольников

    Узнаете? Да-да темари “Вихри”.
    Будем учиться делить заготовку-шар на 12 пятиугольников.

    Возьмем для этого булавки портновские, заготовку для нашего темари и 6 полосок бумаги шириной 0,5 см, а длиной чуть больше “талии” нашего темарика.

    Приступим!Берем 2 полоски и прикрепляем их на шар крест накрест с помощью булавки. Булавки не нужно вкалывать до самого конца, примерно на 2/3 высоты. Угол между полосками 72 градуса. Если мысленно добавить в макушку третью полоску получится нечто похожее на снежинку.

    С обратной стороны заготовки также закрепляем булавкой полоски.

    Берем третью полоску и стараемся получить равносторонние треугольники с одной и с другой стороны шарика.
    Стараемся сделать треугольники максимально симметричными, от этого зависит вся дальнейшая наша работа.

    Добавляем четвертую полоску и получаем уже по два треугольника с общей вершиной с каждой стороны заготовки.Не забываем каждую полоску замыкать с обратной стороны.

    Если торчат небольшие хвосты это не страшно, просто темари бывают все разной величины, а полоски я использую одни и те же.

    Вот так выглядит заготовка в другом ракурсе с четырьмя полосками разметки.

    Это еще один поворот заготовки на 90 градусов. Полосок по прежнему 4.

    Сейчас мы добавили пятую полоску. Стараемся, чтобы получались правильные треугольники.

    А на макушках уже получились 2 звезды, если все было сделано правильно.

    Добавляем шестую полоску и получаем красоту неописуемую.

    На заготовке должно получиться 12 звезд, из которых потом мы получим разметку 12 пятиугольников.

    Важно

    А теперь возьмем 20 булавок и втыкаем их в центры треугольников до саой макушечки булавки, чтобы эти булавки не перепутать потом со вспомогательными.

    Старайтесь не пропустить ни одного треугольника. Если постарались, то все 20 булавок у вас в шарике.

    А теперь полоски убираем вместе со вспомогательными булавками. Вот что должно получиться в итоге.

    Покрутите вашу заготовку в руках и если где-то пятиугольники чуть-чуть неровные (ведь мы не волшебники, а только учимся), булавочку переколем.
    А теперь начинаем вышивать наши вихри-водовороты.

    Приподнимаем булавочки над поверхностью шарика и вышиваем стежки от одной булавки до другой сквозь заготовку.

    По мере того, как прорисовываются пятиугольники булавки удаляем.

    12 пятиугольников готовы, а 20 булавок вынуты.

    Вышиваем далее по схемке: точка за точкой от внешнего края пятиугольника движемся по спирали к центру

    Примерно как-то так.

    Первый вихрь готов!

    2 вихря!

    3!

    И вот уже осталось всего 3 вихря вышить.

    Последний рывок!

    Готово!

    Дерзайте!

    Спасибо, что выдержали урок до конца. Буду рада, если кому-то это пригодится.

    Вышивка крестом: “Квакерский мячик” (Quaker Ball)

    Вышитая кривулька: шарик из 12 пятиугольников

    Quaker Ball  – это тряпичный мячик, выполненный в стиле Quaker Embroidery (“вышивка квакеров”, об истории этой вышивки можно прочитать здесь).

    Идея использования мотивов старинной квакерской вышивки в таком несвойственном ей дизайне, принадлежит компании Amaryllis Artworks, которая выпустила буклет с инструкцией по вышивке и сборкеQuaker Ball трех разных размеров.

    Причем, мотивы у всех трех шаров совершенно одинаковые – размер варьируется только за счет изменения ткани.  Так, большой мяч вышит на льне “28-count Cashel”, средний – на льне “32-count” и маленький – на льне “40-count Newcastle”.

    Что касается ниток, то разработчики предлагают использовать шелковое мулине ручного окраса от компаний Caron Waterlilies и мулине Weeks Dye Works.

    Каждый мяч состоит из 8-ми шестиугольников, 6-ти восьмиугольников и 12 квадратов.

    Материалы оригинального набора:

    Большой мяч (19, 5″ или 49,53 см).
    Ткань. Лен “28-count Cashel”: 26 х 51 см белого цвета для восьмиугольников; 33 х 46 см темно-оливкового цвета для шестиугольников; 13 х 36 см синего цвета для квадратов.
    Мулине. Caron Waterlilies (цвета: Pesto и Olive Grove/2).
    Средний мяч (17″ или 43,18 см).
    Ткань. Лён “32-count”, 34 х 89 см
    Мулине. Weeks Dye Works (цвета: Palomino/3, Molasses, Twilight, Mulberry, Brick/2, Peacoat, Juniper/2, Moss и Sweet Potato).
    Маленький мяч (14″ или 35,56 см).
    Ткань. Лен “40-count Newcastle”: 34 х 69 см.
    Мулине. Caron Waterlilies (цвета: Chili/3).

    Отличная база для творчества

    http://nyusha-nos.blogspot.ru

    Главное в Quaker Ball – это сама конструкция. Поскольку онсоздан из различных мотивов квакерской вышивки, то, при желании, дизайны оригинального набора, можно заменить на любые другие из богатого “квакерского” арсенала. А можно и вовсе составить ансамбль из далеких от квакерского стиля орнаментов и рисунков. Главное, чтобы они вписывались в размер и хорошо сочетались друг с другом. Цвета и фактуру материалов (мулине и ткань) тоже можно варьировать в зависимости от предпочтений. Поступая подобным образом, каждый может создать свой собственный неповторимый мяч… Правда, если слишком оторваться от оригинала, вместо “квакерского мячика” получится просто красивый мячик-пазл… Ну, и прекрасно! Зато, он уж точно будет отражением вашей яркой творческой индивидуальности!

    Вернисаж

    (в основном по материалам http://mysteriousknickknacks.blogspot.com)

    https://misseaglesnest.blogspot.com/2013/05/blog-post_17.html

    Процесс работы

     

    Примеры схем

     Набор 1

    Набор 2

    (автор схем Александр Свиридов http://mysteriousknickknacks.blogspot.com)

    Еще несколько схем

    шестиугольники

    восьмиугольники

     квадраты

    Мастер-класс по вышивке и сборке шарика техникой квакер

    Вышитая кривулька: шарик из 12 пятиугольников

    Известным брендом в области вышивки являются волшебные мячи или quaker ball. Это изделие необычно тем, что имеет объёмную форму шара. Такой мячик станет отличным подарком родным и близким, игрушкой для ребёнка или ёлочным украшением.
    С помощью этого урока вы сможете самостоятельно разобраться и сшить свой первый quaker ball.

    Материалы для рукоделия в технике квакер

    Канва

    Для работы лучше всего использовать канву Аида. В зависимости от канвы будет меняться размер мячика и необходимое количество ткани.
    Выгодно смотрится цветная канва, или канва с нанесённым рисунком.

    Нитки

    Возьмите мулине любой фирмы. Оттенки ниток зависят от схемы. При вышивке орнаментов и цветочных мотивов в стиле квакер хорошо смотрится меланж или нитки с цветовыми переходами.

    Для украшения мячика применяется бисер, пайетки и бусины.

    Потребуются также ножницы, иголки, синтепон для набивки, и флизелин

    Варианты орнаментов на мячиках

    Определитесь с темой шара, и подберите схемы вышивки для каждой детали. Таких схем насчитывается 26 (6 восьмигранников + 8 шестиугольников + 12 квадратов).

    Варианты схем для вышивки мячика в технике квакер

    На гранях шара бывает один орнамент, или 2, 4, 8 различных мотивов.

    Традиционные квакерские мотивы, это геометрические или растительные орнаменты (иногда фигурки животных), выполненные в спокойных тонах. Каждый символ такой вышивки имеет значение и роль. Дерево – семейное счастье, олень – благородство, кролик богатство, цветы в вазе – крепкая дружба.

    Среди таких мотивов впишутся значимые даты вашей семьи, или графические пожелания.

    Эффектно смотрятся и современные рисунки. Если вы шьёте мячик для ребёнка, используете для элементов яркие изображения цифр, геометрических фигур, сказочных героев. Звери и цветы также выполняются в современной интерпретации.

    Раскрой канвы и вышивка рисунков

    Выбрав материалы и схему, приступайте к раскрою канвы.
    Шар состоит из 12 квадратов, 8 шестиугольников и 6 восьмигранников. Фигуры раскраиваются по схеме, располагать на канве их следует на расстоянии не менее 3 см друг от друга.

    Контуры каждой фигуры отмечайте при помощи стежков. Карандаш и маркер лучше не использовать, чтобы не оставались разводы.
    Затем приступите к вышивке выбранных рисунков. Этот этап занимает довольно много времени.

    Процесс сборки вышитого мячика в стиле квакер

    Подготовьте шарик к сборке:

  • Постирайте и прогладьте готовые детали с изнаночной стороны. Уплотните детали флизелином, чтобы они держали форму, не растягивались при набивке.
  • Вырежьте элементы шара, отступая от контура полтора сантиметра.
  • Загните припуск на изнаночную сторону, пригладив пальцами.
  • Следите, чтобы вышитый контур располагался на сгибе детали.
  • При загибе отступов внутрь не используйте утюг, чтобы не смять вышитый контур элемента. Если вам не удалось с первого раза пальцами загладить отступ, повторите процедуру.

    На этом этапе пришло время собрать мячик. Соберите две половинки, состыкуйте и соедините их. Сборка половинок есть на видео.Всё фрагменты сшиваются посредством соединения их контуров.

    Сложность заключается в том, что при сшивании большинства фрагментов придётся компенсировать разницу в количестве контурных стежков. Все вертикальные и горизонтальные стороны состоят из 20 стежков, стороны находящиеся в восьмиугольниках под углом 45 градусов – из 14, а наклонные стороны шестиугольников из 17.

    Совет

    Чтобы сгладить эту разницу, придётся периодически делать по два шва в один контурный стежок, для фигуры с меньшей стороной. Такие дополнительные швы надо распределить равномерно, иначе шов между двумя элементами получится кривым.

    Когда останутся только две детали, наполните шарик ватой, закончите швы, и закрепите нить.

    Постарайтесь набить мячик как можно плотнее, чтобы не возникало впечатления «однобокости» и кривизны полученного шара.

    Коллекция фото:

    Изделия в стиле квакер:

    Видео : мастер-классы по сборке квакерского шарика

    Футбольный мяч — Математическая составляющая

    Футбольный мяч

    Поверхность классического футбольного мяча состоит из слегка искривлённых 12 правильных пятиугольников чёрного цвета и 20 правильных белых шестиугольников. Модель мяча можно представить следующим образом.

    Из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников с равными сторонами можно сложить многогранник, называемый усечённым икосаэдром.

    Икосаэдр — один из пяти правильных многогранников. Его название происходит от древнегреческих слов $ \varepsilon\acute\iota\kappa ο\sigma\iota $ — двадцать, $ \acute\varepsilon\delta\mkern-1mu\rho α $ — основание. У икосаэдра 12 вершин, 20 граней — правильных треугольников, 30 рёбер.

    «Отрежем» (отсечём) вершины икосаэдра, отступив от вершин вдоль прямых, направленных в центр, на столько, чтобы оставшиеся части граней были правильными шестиугольниками. Срезы будут правильными пятиугольниками. Получившаяся фигура и есть усечённый икосаэдр.

    Усечённый икосаэдр — один из полуправильных многогранников. Так называются многогранники, у которых все грани — правильные многоугольники нескольких разных типов (в отличие от правильных многогранников, все грани которых — одинаковые правильные многоугольники), а все вершины устроены «одинаково», т. е. многогранные углы при вершинах равны (совместимы).

    При «наполнении воздухом» модели (усечённого икосаэдра) она принимает форму сферы, становится футбольным мячом. При этом вершины усечённого икосаэдра совпадут с «вершинами» мяча, рёбра перейдут в швы, а грани — в слегка искривлённые много­угольники на поверхности мяча. Таким образом получится мяч — центральная проекция усечённого икосаэдра на сферу.

    Раздувание усечённого икосаэдра заставляет задуматься о степени близости к шару формы изначальной модели. Например, можно оценивать это сходство отношением радиусов концентрических сфер — описанной (проходящей через вершины; будущий мяч) и вписанной. Чем ближе это отношение к  единице, тем совершеннее модель, тем ближе она к идеально круглому мячу.

    А нельзя ли придумать модель мяча, состоящую из плоских кусков (панелей), но более совершенную, чем классическая? Можно было бы взять не усечённый икосаэдр, а многогранник с большим числом вершин, но это не устраняет принципиальный недостаток — выступающие над вписанной сферой «пирамидки» (вершины), мешающие модели стать сферой. К тому же процесс изготовления существенно усложняется.

    Классический пятнистый мяч появился только в 1950 году. Он был официальным мячом на чемпионатах мира с 1970 до 2002 года. Затем наступило время экспериментов, а в 2014 году на чемпионате мира в Бразилии состоялась премьера нового официального мяча, получившего название «Бразука».

    Модель «Бразуки» совершеннее классической и при этом «является кубом»! Как и куб, она собирается из шести одинаковых плоских панелей, на ней выделяются восемь особых точек (вершин), в каждой из которых сходится по три панели.

    На границе каждой панели есть четыре угла по $120°$. В вершинах модели встречаются три угла, сумма их величин равна $360°$, поэтому поверхность мяча вокруг вершины будет уплощённой, выступающей пирамидки не будет.

    Панели можно склеивать по линиям границ между углами, поскольку длины этих линий одинаковы. Выпуклые участки границ склеиваются с вогнутыми, а линии подобраны так, что в каждой точке склейки кривизна выпуклого участка больше кривизны вогнутого. Из‐за этого плоские панели при склеивании изгибаются, образуя в результате замкнутую выпуклую поверхность. Возможность такой склейки гарантирует теорема А. Д. Александрова, академика и автора школьного учебника по геометрии.

    В модели классического мяча вся кривизна сосредоточена в конечном числе «выступающих» вершин. А в модели «Бразуки» она распределена более равномерно (по длинным рёбрам), и из‐за этого модель становится более близкой к сфере.

    Правильный икосаэдр — Википедия

    Материал из Википедии — свободной энциклопедии

    Икосаэдр и его описанная сфера

    Пра́вильный икоса́эдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сиденье», «основание») — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник[1], одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.

    Вписанный икосаэдр, видно, что, согласно доказанному Паппом Александрийским, его вершины лежат в четырёх параллельных плоскостях.

    Евклид в предложении 16 книги XIII «Начал» занимается построением икосаэдра, получая сначала два правильных пятиугольника, лежащих в двух параллельных плоскостях — из десяти его вершин, и затем — две оставшиеся противоположные друг другу вершины[2][3]:127-131. Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением икосаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что двенадцать его вершин лежат в четырёх параллельных плоскостях, образуя в них четыре правильных треугольника[3]:315-316[4].

    Площадь поверхности S, объём V икосаэдра с длиной ребра a, а также радиусы вписанной и описанной сфер вычисляются по формулам:

    Площадь:

    S=5a23{\displaystyle S=5a^{2}{\sqrt {3}}}

    Объём:

    V=512(3+5)a3{\displaystyle V={\begin{matrix}{5 \over 12}\end{matrix}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}}

    Радиус вписанной сферы[5]:

    r=11242+185a=143(3+5)a{\displaystyle r={\begin{matrix}{1 \over {12}}\end{matrix}}{\sqrt {42+18{\sqrt {5}}}}a={\begin{matrix}{1 \over {4{\sqrt {3}}}}\end{matrix}}(3+{\sqrt {5}})a}

    Радиус описанной сферы[5]:

    R=142(5+5)a{\displaystyle R={\begin{matrix}{1 \over 4}\end{matrix}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}a}

    • Двугранный угол между любыми двумя смежными гранями икосаэдра равен arccos(-√5/3) = 138,189685°.
    • Все двенадцать вершин икосаэдра лежат по три в четырёх параллельных плоскостях, образуя в каждой из них правильный треугольник.
    • Десять вершин икосаэдра лежат в двух параллельных плоскостях, образуя в них два правильных пятиугольника, а остальные две — противоположны друг другу и лежат на двух концах диаметра описанной сферы, перпендикулярного этим плоскостям.
    • Икосаэдр можно вписать в куб, при этом шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба
    • В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, так что четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
    • Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
    • В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.
    • Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90.
    • Собрать модель икосаэдра можно при помощи 20 равносторонних треугольников.
    • Невозможно собрать икосаэдр из правильных тетраэдров, так как радиус описанной сферы вокруг икосаэдра, соответственно и длина бокового ребра (от вершины до центра такой сборки) тетраэдра меньше ребра самого икосаэдра.
    R={\begin{matrix}{1 \over 4}\end{matrix}}{\sqrt  {2(5+{\sqrt  5})}}a

    Усечённый икосаэдр — многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников. Имеет икосаэдрический тип симметрии. По сути классический футбольный мяч имеет форму не шара, а усечённого икосаэдра с выпуклыми (сферическими) гранями.

    • Икосаэдр лучше всего из всех правильных многогранников подходит для триангуляции сферы методом рекурсивного разбиения[6]. Поскольку он содержит наибольшее среди них количество граней, искажение получающихся треугольников по отношению к правильным минимально.
    • Икосаэдр применяется как игральная кость в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d20 (dice — кости).

    Тела в виде икосаэдра[править | править код]

    • Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решение уравнений пятой степени / Ф. Клейн; пер. с нем. А. Л. Городенцев, А. А. Кириллов, ред. А. Н. Тюрин. — М.: Наука, 1989. — 332 с. — ISBN 5020141976.
    ⛭
    Многоугольники
    Звёздчатые многоугольники
    Паркеты на плоскости
    Правильные многогранники
    и сферические паркеты
    Многогранники Кеплера — Пуансо
    Соты
    Четырёхмерные многогранники
    • {3,3,3}
    • {4,3,3}
    • {3,3,4}
    • {3,4,3}
    • {5,3,3}
    • {3,3,5}

    Многогранники Архимеда — Mnogogranniki.ru

    Древнегреческому ученому Ахимеду принадлежит открытие 13 многогранников — «архимедовых тел».

    Которые так же именуют полуправильными многогранниками.

     

     

    Каждое из них ограничено неодноименными правильными многогугольниками и в котором равны многогранные углы и одноименные многоугольники.

    Кроме того, в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней.

    В одинаковом порядке каждое из этих тел может быть вписано в сферу.

     

    Почему все архимедовы тела часто называют полуправильные многогранники?

    При этом надо помнить, что далеко не все полуправильные многогранники можно назвать архимедовыми, так как в группу полуправильных многогранников входит гораздо больше геометрических тел, а количество архимедовых многогранников очень мало — всего тринадцать.

     

    Впервые увидев эти 13 названий — «голова идет кругом». Всё смешивается. Однако запомнить и разобраться все-таки можно.

    Как выглядит каждое из 13-ти Архимедовых тел

     

    тринадцать тел архимеда

    1. Усечённый тетраэдр

    тринадцать тел архимеда

    2. Усечённый октаэдр

    тринадцать тел архимеда

    3. Усечённый куб (гексаэдр)

    тринадцать тел архимеда

    4. Усечённый додекаэдр

    тринадцать тел архимеда

    5. Усечённый икосаэдр

    тринадцать тел архимеда

    6. Кубо-октаэдр

    тринадцать тел архимеда

    7. Ромбо-кубо-октаэдр

    тринадцать тел архимеда

    8. Ромбо-усечённый кубо-октаэдр

     

    тринадцать тел архимеда

    9. Плосконосый куб (другое название курносый куб)

     

    тринадцать тел архимеда

    10. Икосо-додекаэдр

     

    тринадцать тел архимеда

    11. Усечённый икосо-додекаэдр

     

    тринадцать тел архимеда

    12. Ромбо-усечённый икосо-додекаэдр

     

    тринадцать тел архимеда

    13. Плосконосый додекаэдр (другое название курносый додекаэдр)

     

    Какое название лежит в основе

    Какое название лежит в основе: Обратите внимание на тот, факт что в названии любого многогранника есть слово-основа. Именно эта основа позволяет определить к какому из пяти правильных многогранников относится текущий.

     Название

      Слово-основа

     Усечённый тетраэдр       тетраэдр

    Усечённый октаэдр     

    Кубо-октаэдр     

    Ромбо-кубо-октаэдр     

    Ромбо-усечённый кубо-октаэдр     

     октаэдр

    Усечённый куб     

    Плосконосый куб     

    куб

    Усечённый додекаэдр     

    Икосо-додекаэдр     

    Усечённый икосо-додекаэдр     

    Ромбо-усечённый икосо-додекаэдр     

    Плосконосый додекаэдр     

    додекаэдр
    Усечённый икосаэдр      икосаэдр

     

    Какой многогранник лежит в основе

    Прародителем каждого из 13-ти полуправильных многогранников является один из пяти Платоновых многогранников.

    тетраэдр усеченный тетраэдр   икосаэдр усеченный икосаэдр  

     

    Из каких геометрических фигур можно составить

    Все многогранники Архимеда можно представить в виде комбинации правильных многогугольников

    Размеры многогранников

    Чтобы создать коллекцию многогранников, нам будет необходимо придерживаться определенных условий, так размеры будут сопоставимы и модели можно легко сравнить друг с другом.

    Идин из возможных вариантов это создавать модели вписываемые в сферу заданных размеров. Вот как будут выглядеть в этом случае все 13 многогранников.

     

    Другой вариант это задать единую длину стороны для всех многоугольников из которых будет собрана модель. Вот каковы пропорции многоугольников имеющих единую длину стороны:

    — треугольник;

    — квадрат;

    — пятиугольник;

    — шестиугольник;

    — восьмиугольник;

    — десятиугольник.

    А вот как будет выглядеть коллекция многогранников, собранная из многоугольников с единой длиной стороны:

    Где найти развертки Архимедовых тел

    Развертки для всех тринадцати многогранников Архимеда вы сможете найти в наборах «Волшебные грани»:

    Волшебные грани № 18

    Волшебные грани № 18
    — усечённый тетраэдр;
    — усечённый октаэдр;
    — усечённый гексаэдр;
    — кубооктаэдр.

       Волшебные грани № 19

    Волшебные грани № 19
    — усечённый икосаэдр;
    — икосо-додекаэдр;
    _
    _

       Волшебные грани № 21

    Волшебные грани № 21
    — ромбо-кубо-октаэдр;
    — ромбо-усечённый кубо-октаэдр

      Волшебные грани № 27

    Волшебные грани № 27
    — усечённый додекаэдр;
    — усечённый икосо-додекаэдр

      Волшебные грани № 29

    Волшебные грани № 29
    — плосконосый куб;
    — плосконосый додекаэдр

     

     

    Готовится к выпуску:

    Волшебные грани № 31 (ромбо-усечённый икосо-додекаэдр).

    Leave a Reply